Teoría de Existencia para Ecuaciones en Derivadas Parciales

Jorge Ize, transcripción de Juan Cristobal Latorre Biagini

 

Hasta hace 75 años las ecuaciones en derivadas parciales se trataban esencialmente en Matemáticas Aplicadas y Física: consistían en un conjunto de recetas de resolución, usándose una cuando la otra fallaba, sin tratar de clasificar los tipos de problemas o de justificar los métodos empleados, y menos aún, estudiar problemas básicos como existencia de soluciones, estabilidad, etc.

A partir de Hilbert y Friedrichs, los matemáticos (por ejemplo: Hörmander, Nirenberg, Stampacchia, Trèves, etc.) se dedicaron casi exclusivamente al estudio teórico de estos problemas, con la ayuda del análisis funcional, mientras que los "aplicados" seguían su propio camino.

Más recientemente (1970) los "Teóricos" se interesaron en la práctica (Métodos de características, Métodos de rayos,...); y los "Aplicados", al estudiar problemas más complicados, se dieron cuenta de la utilidad de los métodos "modernos": por ejemplo, problemas sobre dominios con frontera no lisa (ángulos, problemas de traza, existencia de soluciones para análisis numérico, etc.)

El objetivo de estas notas es hacer ver que la teoría "moderna" de ecuaciones en derivadas parciales es útil, y que su relación con la teoría clásica es semejante a la relación entre Álgebra Lineal y la resolución de sistemas de ecuaciones lineales: el Álgebra no resuelve los sistemas pero es útil para entender las cosas.

El propósito de estas notas es el de dar un panorama amplio de la teoría "moderna", por lo tanto, se tratará de ser lo menos técnico posible. Algunos resultados son "probados" con argumentos no muy rigurosos: en estos casos se darán referencias para encontrar las demostraciones correctas, indicando las partes dudosas.