Fascículos de Cálculo

José Luis Abreu, José Ángel Canavati, Jorge Ize, Antonmaria Minzoni

 

Esta es una reedición electrónica de los "Fascículos de Cálculo" que fueron publicados en México por la editorial Limusa® en 1980, y que han dejado de editarse.

 

     El Cálculo diferencial e integral, llamado también simplemente el Cálculo, es una herramienta matemática que se inventó en el Siglo XVII para resolver varios problemas de la física y la geometría. Desde su creación, el Cálculo ocupó un lugar muy importante dentro de la cultura occidental pues se convirtió en un instrumento indispensable para la ciencia. Son innumerables sus aplicaciones no sólo en la física y la geometría sino también en la química, la biología, la ingeniería, la economía, etc. La historia del Cálculo después del Siglo XVII tiene dos aspectos diferentes. Por un lado están las aplicaciones y por otro lado la evolución teórica del Cálculo mismo. Hoy en día el Cálculo además de ser una herramienta matemática necesaria y útil es también una teoría matemática completa y rigurosa (y muy bella además). Al escribir esta serie de fascículos sobre el Cálculo, en los que había a priori un espacio limitado, los autores se enfrentaron con el problema de decidir qué aspectos del Cálculo presentar y cómo presentarlos.

Muchos libros insisten en que el concepto fundamental del Cálculo es el de límite. Sin duda, desde el punto de vista lógico, tienen razón, puesto que tanto la derivada como la integral pueden definirse como unos límites. Pero el concepto de límite surgió como una necesidad para la definición rigurosa de la derivada y la integral, siendo estos últimos conceptos los que tenían importancia directa en la práctica. Algo semejante puede decirse respecto del concepto de función. Es indudable que como lo que se deriva o se integra son las funciones, desde el punto de vista lógico el concepto de función es más básico que los de derivada e integral. Sin embargo, esto no implica que sea necesario emplear meses enteros estudiando el concepto de función y el de límite para poder comprender el Cálculo. De hecho, en opinión de los autores, lo inverso es la verdad, es decir, los conceptos de función y de límite se llegan a conocer mejor y más rápidamente a través de su uso en la derivación y la integración. A su vez, las derivadas y las integrales se aprenden mejor a través de sus aplicaciones.

Estas ideas, unidas al hecho de que esta serie de fascículos está dirigida principalmente a los estudiantes de enseñanza media superior muchos de los cuales continuarán sus estudios en diversas escuelas profesionales, es lo que determinó el contenido de los fascículos de Cálculo.

En general, el procedimiento que se sigue en la presentación del material consiste en discutir algún problema o situación de la vida real en que de manera natural aparece alguno de los conceptos del Cálculo, lo cual se aprovecha para introducir o generalizar el concepto en cuestión y desarrollar métodos para resolver los problemas planteados. Los ejercicios están diseñados para que el estudiante aplique los conceptos y los métodos aprendidos.

En el fascículo 1 se introducen los conceptos de derivada y de integral a través del estudio del movimiento de una partícula, los problemas de encontrar las tangentes a ciertas curvas, problemas de máximos y mínimos, y el cálculo de áreas de ciertas figuras planas. También se presenta por primera vez el teorema fundamental del cálculo que muestra la relación que existe entre la derivada y la integral.

En el fascículo 2 se generaliza el concepto de integral para abarcar funciones con signo variable y se estudian las derivadas e integrales de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas, haciendo uso del teorema fundamental del cálculo.

En el fascículo 3 aparecen las reglas de derivación de sumas, productos y cocientes de funciones así como la regla de la cadena para derivar funciones compuestas y se estudian nuevos problemas sobre máximos y mínimos. También se discuten métodos para trazar las gráficas de las funciones y se estudia la aproximación lineal y el teorema del valor medio. Además el fascículo 3 contiene una tabla de derivadas.

En el fascículo 4 se estudian los métodos de integración y la aplicación de la integral definida al cálculo de volúmenes de sólidos de revolución, longitudes de curvas y áreas de superficies de revolución. El fascículo 4 contiene además una tabla de integrales.

El fascículo 5 presenta las aplicaciones de la segunda derivada y la noción de concavidad al estudio de las gráficas de las funciones, la determinación de máximos y mínimos, interpolación y aproximación cuadrática; también estudia el cálculo numérico y el ajuste de curvas y sus aplicaciones.

Finalmente el fascículo 6 aplica el cálculo al estudio de la dinámica de las partículas, incluyendo una demostración de las leyes de Kepler a partir de la ley de la gravitación universal y la segunda ley de Newton. También se presentan aplicaciones a la teoría de poblaciones, reactores nucleares, el péndulo, etc. Al escribir estos fascículos no tratamos de hacer parecer el cálculo más fácil de lo que es. Escogimos las aplicaciones que a nuestro juicio son más interesantes y profundas. Tanto el material del texto como los ejercicios requieren que el lector haga un esfuerzo para comprenderlos o resolverlos, según el caso. Debido a esto es de esperarse que muchas cosas resulten difíciles, más no imposibles. El grado de dificultad va aumentando gradualmente.

 

 

IIMAS-UNAM, MÉXICO, JUNIO DE 1980.

 

Reedición electrónica de los Fascículos de Cálculo

 

Volumen I.

Introducción a los conceptos del cálculo

Capítulos:

1. Los conceptos del cálculo en el estudio del movimiento

 

2. Tangente de una curva

 

3. Cálculo de áreas y el concepto de integral

Apéndices:

I Sumas de enteros

 

II Inducción

 

III El número

 

 

 

Volumen II.

Conceptos fundamentales y funciones elementales

Capítulos:

1. Área e integral

 

2. Derivación e integración de las funciones elementales

 

3. Las funciones logaritmo y exponencial

 

 

 

Volumen III.

Cálculo de derivadas y algunas aplicaciones

Capítulos:

0. Introducción

 

1. Reglas de derivación

 

2. Comportamiento de una función: máximos y mínimos,

 

gráficas y aproximación lineal

Apéndice:

1. Límites y crecimiento polinomial

 

 

 

Volumen IV.

Cálculo de integrales y algunas aplicaciones

Capítulos:

1. Métodos elementales de integración

 

2. El uso de las integrales en la solución de problemas

 

3. Integración por partes y algunos de sus usos

Apéndices:

I Área y longitud de curvas en coordenadas polares

 

II Presión en líquidos y presión atmosférica

 

 

 

Volumen V.

Aproximación

Capítulos:

1. Segunda derivada

 

2. Cálculo numérico

 

3. Ajuste de curvas

 

 

 

Volumen VI.

Modelos matemáticos

Capítulos:

1. Ley de Newton

 

2. Algunas ecuaciones diferenciales